\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T2A,TS1]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{listings}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cmap}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\usepackage{euscript}


\setlength{\baselineskip}{5em}
\setlength{\textwidth}{19cm}
\setlength{\textheight}{28cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-17mm}
\setlength{\evensidemargin}{-17mm}
\setlength{\topmargin}{-31mm}

\def\qs{{\fontencoding{TS1}\selectfont\textquotesingle}}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}

\newcommand{\comptask}{\stepcounter{enumi}\theenumi$^*$}
\newcommand{\imptask}{\stepcounter{enumi}\theenumi$^\circ$}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{problem}{Задача}
\renewcommand{\proofname}{Доказательство}


\begin{document}
\begin{center}
\section*{Текст и шрифт.}
\end{center}

\Large
\center{Надпись по центру.}
\large
\flushleft Теперь выравнивание по левому краю.

Команда Large меняет размер шрифта. Другие размеры шрифтов:
\begin{itemize}
\item \tiny tiny \large
\item \scriptsize scriptsize \large
\item \footnotesize footnotesize \large
\item \small small \large
\item \normalsize normalsize \large
\item \large large \large
\item \Large Large \large
\item \LARGE LARGE \large
\item \huge huge \large
\item \Huge Huge \large
\end{itemize}
\par itemize создает ненумерованный список. Чтобы создать нумерованный, нужно использовать enumerate.
\par Вот так можно писать \emph{курсивом}, \underline{подчеркнутым} и \textbf{жирным} шрифтом. Сейчас сделаем отступ вниз.
\bigskip
\bigskip

Также можно использовать специальные шрифты, например, \texttt{один}, \textit{два}, \textsc{три}, \textsf{четыре}, \textsl{пять}.


\begin{center}
\section*{Формулы.}
\end{center}
\subsection*{Простейшие формулы.}

$U_{\varepsilon}(a)$

Но самое главное --- формулы. Формула записывается в "долларах" слева и справа от математического текста. Например, $x + y + 5$. Обратите внимание, что в предыдущем предложении после закрывающей кавычки пропал пробел. Это произошло оттого, что знак " является (ой, снова пропал) служебным в пакете \texttt{babel}, а правильные кавычки (ёлочки) набираются так "<это ёлочки"> или так ``это лапки''.

Самые простые формулы:
\begin{itemize}
\item $x^2$, обратите внимание, что если степень состоит более чем из одного символа надо ставить фигурные скобки: $x^{10}$. Иначе получится $x ^10$.
\item $x_{n + 1}$, или даже $x_{n + 1} ^ 2$. Если поменять порядок, ничего не изменится $x^2_{n + 1}$.
\item $\frac{\alpha + \beta}{\gamma -\delta}$
\item $\sqrt{2}$, или $\sqrt[3]{2}$.
\itemа можно использовать команду \verb"\dfrac" из пакета \texttt{amsmath}: $\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}}}$
\end{itemize}

\subsection*{Выключные формулы.}
Чтобы написать большую красивую формулу на отдельной строчке, нужно заключить ее в двойные доллары.
$$
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
$$

Длинную выключную формулу (выкладки) записывают, используя команду multline.
\begin{multline*}
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right) = 
\\
= a\left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) = a\left(x + \frac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)
\left(x +\frac{b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right). 
\end{multline*}
Обратите внимание, что вместо обычных скобок использовались $\left( \right)$ --- они автоматически определяют нужный размер для скобки. В том месте, где нужно было перейти на новую строчку мы поставили два обратных слеша.

Если в команде multline убрать *, то формула будет автоматически пронумерована.
\begin{multline} \label{discr}
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right) = 
\\
= a\left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) = a\left(x + \frac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)
\left(x +\frac{b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right). 
\end{multline}
Теперь на нее можно ссылаться. Для этого удобно "назвать" при помощи команды label. Дальше можно ссылаться на нее при помощи команды ref.
Например, по формуле (\ref{discr}) имеем, что квадратное уравнение имеет два различных решения тогда и только тогда, когда бла--бла--бла.

\subsection*{Множества.}
Фигурные скобки являются спецальным символом в TeX--е, поэтому, чтобы фигурные скобки появились в итоговом документе, их нужно экранировать (ставить перед ними слеш):
$$
A = \{x \mid x^2 \leqslant 2 \}.
$$

Рекомендую вместо обычных фигурных скобок использовать left и right, как и в примере с круглыми скобками.
$$
A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}.
$$
Полезные значки:
\begin{itemize}
\item $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$.
\item $a \in B$, $A \subset B$, $A \nsubseteq B$.
\item $\bigcup\limits_{i = 1}^{n}A_n = \mathbb{R}$.
\end{itemize}

\subsection*{Пределы, кванторы.}

Предел записывается так: $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n = 5$.
$$
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N}\quad \forall n > k\quad |x_n - a| < \varepsilon.
$$
Как ни странно эпсилон записывается $\varepsilon$, а не $\epsilon$. В TeX можно вводить свои обозначения, например, в строке $23$ мы ввели новую команду $\eps$, которая будет писать эпсилон.

Команда quad вставляет два пробела в формуле. Также пробел можно вставить так $\forall \eps \,\,\,\,\exists k$. Обратный слеш с запятой вставляет половину пробела.

\subsection*{Подстановки.}
\begin{multline}
\begin{pmatrix}
1 & 2    & 3     & 4     & \ldots & n - 1 & n\\
n & n -1 & n - 2 & n - 3 & \ldots & 2     & 1\\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
1 & 2    & 3     & 4     & \ldots & n - 1 & n\\
n & n -1 & n - 2 & n - 3 & \ldots & 2     & 1\\
\end{pmatrix} = \\
=\begin{pmatrix}
1 & 2    & 3     & 4     & \ldots & n - 1 & n\\
1 & 2    & 3     & 4     & \ldots & n - 1 & n\\
\end{pmatrix}
\end{multline}

\section*{Леммы, теоремы, доказательства.}
В $28$, $29$ мы определили команды problem и theorem.
\begin{problem}
Докажите, что уравнение
$$
a^n + b^n = c^n
$$
не имеет решения в целых числах при $n \geqslant 3$.
\end{problem}
\begin{proof}
Очевидно.
\end{proof}

\end{document}